Pengertian Trigonometri

By Posted on

Pengertian Trigonometri – Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga. Kata “trigonometri” berasal dari bahasa Yunani, yaitu “trigonon” yang berarti segitiga, dan “metron” yang berarti pengukuran.

Trigonometri telah menjadi bagian integral dari matematika dan memiliki berbagai aplikasi di berbagai bidang seperti fisika, teknik, astronomi, dan grafika komputer.

Pengertian Trigonometri

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga. Kata “trigonometri” berasal dari bahasa Yunani, yaitu “trigonon” yang berarti segitiga, dan “metron” yang berarti pengukuran. Dalam trigonometri, terdapat fungsi-fungsi trigonometri yang melibatkan sin, cos, tan, csc, sec, dan cot yang menggambarkan hubungan antara sudut dan panjang sisi-sisi dalam segitiga.

Trigonometri diterapkan dalam berbagai konteks, termasuk geometri, fisika, teknik, astronomi, grafika komputer, dan banyak lagi. Beberapa konsep dasar dalam trigonometri meliputi:

  1. Sudut: Sudut adalah ukuran rotasi atau kemiringan antara dua garis atau permukaan yang bertemu pada satu titik. Sudut diukur dalam derajat (°) atau radian (rad).
  2. Segitiga Siku-Siku: Segitiga siku-siku adalah segitiga yang memiliki satu sudut yang besarnya 90°. Dalam segitiga siku-siku, trigonometri berfokus pada hubungan antara sudut-sudut segitiga dan panjang sisi-sisi segitiga.
  3. Fungsi Trigonometri: Fungsi-fungsi trigonometri adalah fungsi matematika yang menghubungkan sudut dengan rasio panjang sisi-sisi segitiga. Fungsi-fungsi trigonometri dasar meliputi sin (sinus), cos (kosinus), dan tan (tangen). Fungsi-fungsi trigonometri lainnya adalah csc (cosecans), sec (sekans), dan cot (cotangen).
  4. Identitas Trigonometri: Identitas trigonometri adalah persamaan matematika yang berlaku untuk semua nilai sudut. Beberapa contoh identitas trigonometri yang penting meliputi identitas Pythagoras (���2�+���2�=1sin2θ+cos2θ=1), identitas sudut ganda (���(2�)sin(2θ), ���(2�)cos(2θ), ���(2�)tan(2θ)), dan identitas sudut setengah (���(�2)sin(2θ​), ���(�2)cos(2θ​), ���(�2)tan(2θ​)).

Penerapan trigonometri sangat luas. Dalam geometri, trigonometri digunakan untuk menghitung panjang sisi-sisi segitiga dan mengukur sudut. Dalam fisika, trigonometri digunakan untuk menganalisis gerak dan gelombang.

Dalam teknik, trigonometri digunakan dalam pemodelan struktur dan pengukuran jarak. Dalam astronomi, trigonometri digunakan untuk mengukur jarak antara bintang dan planet. Dalam grafika komputer, trigonometri digunakan untuk membangun efek visual dan animasi.

Pemahaman trigonometri adalah penting dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan aplikasinya membantu kita memahami hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga serta fenomena alamiah yang melibatkan pergerakan dan gelombang.

Sudut dan Unit Pengukuran

Dalam trigonometri, sudut adalah ukuran rotasi atau kemiringan antara dua garis atau permukaan yang bertemu pada satu titik. Sudut dapat diukur menggunakan unit pengukuran yang berbeda, yang paling umum adalah derajat (°) dan radian (rad).

1. Derajat (°)

Derajat adalah unit pengukuran sudut yang paling umum dan banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Satu lingkaran penuh dibagi menjadi 360 derajat. Masing-masing derajat dapat dibagi lebih lanjut menjadi 60 menit (‘) dan setiap menit dapat dibagi lagi menjadi 60 detik (“). Misalnya, sudut 30 derajat dapat ditulis sebagai 30°, sudut 45 derajat dapat ditulis sebagai 45°, dan seterusnya.

2. Radian (rad)

Radian adalah unit pengukuran sudut yang lebih umum digunakan dalam matematika dan fisika. Radian didefinisikan sebagai panjang busur lingkaran yang bersesuaian dengan sudut tersebut, dengan panjang radius sebagai satuan. Dalam satu lingkaran penuh, terdapat 2�2π radian (sekitar 6.28318 radian). Untuk mengubah sudut dalam derajat menjadi radian, dapat menggunakan rumus: ����� ����� ������=�180×����� ����� �������sudutdalamradian=180π​×sudutdalamderajat. Misalnya, sudut 60 derajat dapat dikonversi menjadi radian dengan menggunakan rumus tersebut: ����� ����� ������=�180×60=�3sudutdalamradian=180π​×60=3π​.

3. Konversi antara Derajat dan Radian

Untuk mengonversi sudut dari derajat ke radian, dapat menggunakan rumus: ����� ����� ������=�180×����� ����� �������sudutdalamradian=180π​×sudutdalamderajat. Sedangkan untuk mengonversi sudut dari radian ke derajat, dapat menggunakan rumus: ����� ����� �������=180�×����� ����� ������sudutdalamderajat=π180​×sudutdalamradian.

Ketika bekerja dengan fungsi trigonometri dalam perhitungan matematika atau fisika, radian lebih sering digunakan karena memungkinkan hubungan yang lebih sederhana antara sudut dan lingkaran. Radian juga memberikan keuntungan dalam perhitungan turunan dan integral trigonometri.

Pemahaman yang baik tentang konsep sudut dan unit pengukuran yang digunakan dalam trigonometri sangat penting dalam memahami hubungan trigonometri, menghitung panjang sisi-sisi segitiga, serta menerapkan trigonometri dalam berbagai konteks matematika dan ilmu pengetahuan.

Trigonometri dalam Segitiga Siku-Siku

Trigonometri dalam segitiga siku-siku merupakan salah satu aspek penting dari trigonometri. Segitiga siku-siku adalah segitiga yang memiliki satu sudut yang besarnya 90°. Dalam konteks ini, trigonometri berfokus pada hubungan antara sudut-sudut segitiga dan panjang sisi-sisi segitiga.

Dalam segitiga siku-siku, terdapat tiga fungsi trigonometri dasar yang paling umum digunakan: sin (sinus), cos (kosinus), dan tan (tangen). Fungsi-fungsi trigonometri ini melibatkan perbandingan antara panjang sisi segitiga dengan panjang hipotenusa atau panjang sisi lainnya.

Berikut adalah fungsi-fungsi trigonometri dalam segitiga siku-siku:

1. Sinus (sin)

Sinus sudut tumpul dalam segitiga siku-siku didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang sisi berlawanan sudut tersebut dengan panjang hipotenusa. Dalam notasi matematika, sin �=panjang sisi berlawanan sudut �panjang hipotenusaθ=panjang hipotenusapanjang sisi berlawanan sudut θ​.

2. Kosinus (cos)

Kosinus sudut tumpul dalam segitiga siku-siku didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang sisi yang berdekatan dengan sudut tersebut dengan panjang hipotenusa. Dalam notasi matematika, cos �=panjang sisi yang berdekatan dengan sudut �panjang hipotenusaθ=panjang hipotenusapanjang sisi yang berdekatan dengan sudut θ​.

3. Tangen (tan)

Tangen sudut tumpul dalam segitiga siku-siku didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang sisi berlawanan sudut tersebut dengan panjang sisi yang berdekatan. Dalam notasi matematika, tan �=panjang sisi berlawanan sudut �panjang sisi yang berdekatan dengan sudut �θ=panjang sisi yang berdekatan dengan sudut θpanjang sisi berlawanan sudut θ​.

Dalam trigonometri segitiga siku-siku, fungsi-fungsi trigonometri ini memungkinkan kita untuk menghitung panjang sisi-sisi segitiga ketika sudut-sudutnya diketahui, atau menghitung sudut-sudut segitiga ketika panjang sisi-sisinya diketahui. Hal ini sangat berguna dalam masalah geometri, pemodelan fisika, dan berbagai aplikasi trigonometri lainnya.

Selain fungsi-fungsi trigonometri dasar, terdapat juga fungsi-fungsi trigonometri lainnya yang terkait dengan segitiga siku-siku.

Misalnya, cosec (cosecan) adalah kebalikan dari sin, sec (secan) adalah kebalikan dari cos, dan cot (cotangen) adalah kebalikan dari tan. Fungsi-fungsi trigonometri ini juga digunakan dalam konteks segitiga siku-siku untuk menghitung panjang sisi-sisi atau sudut-sudut segitiga.

Pemahaman tentang trigonometri dalam segitiga siku-siku sangat penting dalam memecahkan masalah geometri, menghitung jarak, mengukur sudut elevasi, pemodelan kekuatan struktur, navigasi, dan banyak aplikasi teknis lainnya.

Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri adalah persamaan matematika yang berlaku untuk semua nilai sudut. Identitas ini memperlihatkan hubungan yang konsisten antara fungsi-fungsi trigonometri atau perbandingan sudut-sudut trigonometri. Identitas trigonometri sangat penting dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, menyederhanakan ekspresi trigonometri, dan membantu dalam perhitungan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri.

Berikut adalah beberapa identitas trigonometri yang umum digunakan:

1. Identitas Pythagoras

sin⁡2(�)+cos⁡2(�)=1sin2(θ)+cos2(θ)=1 Identitas ini menggambarkan hubungan antara sinus dan kosinus dari sudut �θ dalam segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi segitiga.

2. Identitas Sudut Ganda

sin⁡(2�)=2sin⁡(�)cos⁡(�)sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ) cos⁡(2�)=cos⁡2(�)−sin⁡2(�)cos(2θ)=cos2(θ)−sin2(θ) tan⁡(2�)=2tan⁡(�)1−tan⁡2(�)tan(2θ)=1−tan2(θ)2tan(θ)​ Identitas ini menghubungkan fungsi trigonometri sudut ganda dengan fungsi trigonometri sudut tunggal. Identitas ini berguna dalam menyederhanakan dan menghitung fungsi-fungsi trigonometri yang melibatkan sudut ganda.

3. Identitas Sudut Setengah

sin⁡(�2)=1−cos⁡(�)2sin(2θ​)=21−cos(θ)​​ cos⁡(�2)=1+cos⁡(�)2cos(2θ​)=21+cos(θ)​​ tan⁡(�2)=sin⁡(�)1+cos⁡(�)=1−cos⁡(�)sin⁡(�)tan(2θ​)=1+cos(θ)sin(θ)​=sin(θ)1−cos(θ)​ Identitas ini menghubungkan fungsi trigonometri sudut setengah dengan fungsi trigonometri sudut tunggal. Identitas ini berguna dalam menyederhanakan dan menghitung fungsi-fungsi trigonometri yang melibatkan sudut setengah.

4. Identitas Trigonometri Rekiprokal

csc⁡(�)=1sin⁡(�)csc(θ)=sin(θ)1​ sec⁡(�)=1cos⁡(�)sec(θ)=cos(θ)1​ cot⁡(�)=1tan⁡(�)cot(θ)=tan(θ)1​ Identitas ini menggambarkan hubungan antara fungsi trigonometri rekiprokal dan fungsi trigonometri dasar.

5. Identitas Trigonometri Pemangkatan

sin⁡2(�)=1−cos⁡(2�)2sin2(θ)=21−cos(2θ)​ cos⁡2(�)=1+cos⁡(2�)2cos2(θ)=21+cos(2θ)​ Identitas ini menggambarkan hubungan antara pemangkatan fungsi trigonometri dan fungsi trigonometri sudut ganda.

Terdapat banyak identitas trigonometri lainnya yang digunakan dalam berbagai konteks matematika dan ilmu pengetahuan. Identitas-identitas ini memberikan landasan penting dalam pemecahan masalah trigonometri, pemodelan fisika, dan aplikasi trigonometri lainnya.

Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri adalah fungsi matematika yang melibatkan perbandingan antara sudut dalam segitiga siku-siku dan panjang sisi-sisi segitiga tersebut.

Terdapat enam fungsi trigonometri dasar yang paling umum digunakan, yaitu sinus (sin), kosinus (cos), tangen (tan), kosekan (csc), sekan (sec), dan kotangen (cot). Fungsi-fungsi trigonometri ini memiliki hubungan yang erat dengan perbandingan sudut dan panjang sisi dalam segitiga siku-siku.

Berikut adalah penjelasan singkat tentang masing-masing fungsi trigonometri:

  1. Sinus (sin): Sinus sudut dalam segitiga siku-siku didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang sisi berlawanan sudut tersebut dengan panjang hipotenusa. Dalam notasi matematika, sin θ = (panjang sisi berlawanan θ) / (panjang hipotenusa).
  2. Kosinus (cos): Kosinus sudut dalam segitiga siku-siku didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang sisi yang berdekatan dengan sudut tersebut dengan panjang hipotenusa. Dalam notasi matematika, cos θ = (panjang sisi yang berdekatan dengan θ) / (panjang hipotenusa).
  3. Tangen (tan): Tangen sudut dalam segitiga siku-siku didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang sisi berlawanan sudut tersebut dengan panjang sisi yang berdekatan. Dalam notasi matematika, tan θ = (panjang sisi berlawanan θ) / (panjang sisi yang berdekatan dengan θ).
  4. Kosekan (csc): Kosekan sudut adalah kebalikan dari sin. Kosekan θ didefinisikan sebagai kebalikan dari sin θ, yaitu csc θ = 1 / sin θ.
  5. Sekan (sec): Sekan sudut adalah kebalikan dari cos. Sekan θ didefinisikan sebagai kebalikan dari cos θ, yaitu sec θ = 1 / cos θ.
  6. Kotangen (cot): Kotangen sudut adalah kebalikan dari tan. Kotangen θ didefinisikan sebagai kebalikan dari tan θ, yaitu cot θ = 1 / tan θ.

Fungsi-fungsi trigonometri ini tidak hanya berguna dalam segitiga siku-siku, tetapi juga memiliki berbagai aplikasi dalam matematika, fisika, teknik, astronomi, grafika komputer, dan berbagai bidang ilmu pengetahuan lainnya.

Fungsi-fungsi trigonometri juga memiliki properti dan identitas yang penting untuk menyederhanakan ekspresi trigonometri, menyelesaikan persamaan trigonometri, dan memodelkan fenomena periodik.

Siklus dan Grafik Trigonometri

Siklus trigonometri adalah fenomena periodik yang terkait dengan fungsi-fungsi trigonometri. Siklus ini muncul karena nilai-nilai fungsi trigonometri berulang dalam interval tertentu saat sudut meningkat. Grafik trigonometri digunakan untuk memvisualisasikan pola siklus ini.

Grafik fungsi trigonometri umumnya digambarkan dalam sistem koordinat kartesian dengan sumbu x sebagai sudut dan sumbu y sebagai nilai fungsi trigonometri. Setiap fungsi trigonometri memiliki pola siklus yang berbeda-beda dan bergantung pada periode siklusnya.

Berikut adalah grafik dasar dari fungsi-fungsi trigonometri:

1. Grafik Sinus (sin)

Grafik sinus adalah grafik berbentuk gelombang dengan amplitudo yang terbatas antara -1 dan 1. Siklus grafik sinus meliputi seluruh nilai dari -1 hingga 1 dalam interval sudut 0 hingga 360 derajat (atau 0 hingga 2π radian).

Grafik sinus dimulai dari nol, mencapai nilai maksimum di 90 derajat (π/2 radian), kemudian menurun kembali ke nol di 180 derajat (π radian), mencapai nilai minimum di 270 derajat (3π/2 radian), dan kembali ke nol pada 360 derajat (2π radian).

2. Grafik Kosinus (cos)

Grafik kosinus memiliki pola yang serupa dengan grafik sinus, tetapi dimulai dari nilai maksimum. Grafik kosinus juga berbentuk gelombang dengan amplitudo yang terbatas antara -1 dan 1.

Siklus grafik kosinus juga meliputi seluruh nilai dari -1 hingga 1 dalam interval sudut 0 hingga 360 derajat (atau 0 hingga 2π radian).

Grafik kosinus mencapai nilai maksimum di 0 derajat (0 radian), kemudian menurun ke nol di 90 derajat (π/2 radian), mencapai nilai minimum di 180 derajat (π radian), kembali ke nol di 270 derajat (3π/2 radian), dan mencapai nilai maksimum lagi pada 360 derajat (2π radian).

3. Grafik Tangen (tan)

Grafik tangen memiliki pola siklus yang berbeda dari sinus dan kosinus. Grafik tangen memiliki asimtot vertikal di sudut-sudut yang merupakan kelipatan dari 90 derajat (atau π/2 radian), yaitu di 90 derajat, 270 derajat, dan seterusnya. Grafik tangen juga berulang dalam interval sudut 0 hingga 180 derajat (0 hingga π radian), dengan pola yang berulang setiap 180 derajat.

Grafik-g

Grafik-g rafik trigonometri lainnya seperti kosekan, sekan, dan kotangen juga memiliki siklus dan pola yang berkaitan dengan fungsi trigonometri tersebut.

Grafik trigonometri sangat berguna dalam memvisualisasikan dan memahami perilaku fungsi-fungsi trigonometri. Mereka membantu dalam mengidentifikasi nilai maksimum, nilai minimum, asimtot, dan perubahan pola dari fungsi-fungsi trigonometri.

Grafik ini juga penting dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, memodelkan fenomena periodik, dan memahami sifat-sifat trigonometri dalam berbagai konteks ilmiah dan matematika.

Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri adalah persamaan matematika yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri. Persamaan ini berbentuk seperti �(�)=�(�)f(θ)=g(θ), di mana �(�)f(θ) dan �(�)g(θ) adalah ekspresi yang mengandung fungsi-fungsi trigonometri dari sudut �θ. Tujuan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri adalah untuk mencari nilai-nilai sudut �θ yang memenuhi persamaan tersebut.

Berikut adalah beberapa jenis persamaan trigonometri yang umum:

1. Persamaan Trigonometri Linier

Persamaan ini memiliki bentuk sederhana �sin⁡(�)+�cos⁡(�)=�asin(θ)+bcos(θ)=c, di mana �a, �b, dan �c adalah konstanta.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, dapat menggunakan identitas trigonometri seperti identitas sudut ganda atau identitas Pythagoras untuk menyederhanakan ekspresi dan mencari solusi yang memenuhi persamaan.

2. Persamaan Trigonometri Kuadrat

Persamaan ini memiliki bentuk �(�)=�(�)f(θ)=g(θ), di mana �(�)f(θ) dan �(�)g(θ) adalah ekspresi kuadrat dari fungsi-fungsi trigonometri seperti sin⁡2(�)sin2(θ), cos⁡2(�)cos2(θ), atau tan⁡2(�)tan2(θ).

Untuk menyelesaikan persamaan ini, dapat menggunakan identitas trigonometri pemangkatan atau identitas sudut ganda untuk mengubah ekspresi kuadrat menjadi bentuk yang lebih sederhana dan mencari solusi yang memenuhi persamaan.

3. Persamaan Trigonometri Transenden

Persamaan ini melibatkan fungsi-fungsi trigonometri yang kompleks seperti sin⁡(�)sin(θ), cos⁡(�)cos(θ), atau tan⁡(�)tan(θ) dalam bentuk yang rumit seperti sin⁡(�)+cos⁡(�)=tan⁡(�)sin(θ)+cos(θ)=tan(θ).

Penyelesaian persamaan transenden ini sering melibatkan penggunaan identitas trigonometri, manipulasi aljabar, atau pendekatan numerik seperti menggunakan grafik atau metode numerik untuk mencari solusi pendekatan.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, diperlukan pemahaman yang baik tentang identitas trigonometri, sifat-sifat fungsi trigonometri, dan kemampuan untuk menyederhanakan ekspresi trigonometri.

Selain itu, penggunaan kalkulator atau perangkat lunak komputer yang mendukung fungsi-fungsi trigonometri juga dapat membantu dalam mencari solusi persamaan trigonometri yang kompleks.

Tabel Trigonometri

Berikut adalah tabel trigonometri yang berisi nilai-nilai umum dari fungsi-fungsi trigonometri untuk sudut-sudut yang umum digunakan dalam matematika:

Nilai-nilai dalam tabel ini didapatkan berdasarkan hubungan trigonometri pada sudut-sudut spesifik dalam lingkaran unit (lingkaran dengan jari-jari 1). Sinus (sin θ) adalah perbandingan antara panjang sisi yang berlawanan dengan sudut θ dengan panjang hipotenusa, kosinus (cos θ) adalah perbandingan antara panjang sisi yang berdekatan dengan sudut θ dengan panjang hipotenusa, dan tangen (tan θ) adalah perbandingan antara panjang sisi yang berlawanan dengan sudut θ dengan panjang sisi yang berdekatan.

Tabel trigonometri ini hanya mencakup sudut-sudut yang umum digunakan dalam matematika dan trigonometri. Untuk sudut-sudut lainnya, nilai-nilai dapat dihitung menggunakan kalkulator atau perangkat lunak komputer yang mendukung fungsi-fungsi trigonometri.

Nilai Trigonometri

Berikut adalah tabel yang menunjukkan nilai-nilai trigonometri umum untuk sudut-sudut dalam derajat dan radian:

Tabel ini mencakup sudut-sudut yang umum digunakan dalam matematika dan trigonometri, serta nilai-nilai dasar dari fungsi-fungsi trigonometri seperti sinus (sin), kosinus (cos), tangen (tan), kosekan (csc), sekan (sec), dan kotangen (cot).

Nilai-nilai lainnya dapat dihitung dengan menggunakan rumus dan identitas trigonometri yang sesuai. Penting untuk dicatat bahwa dalam beberapa kasus, seperti ketika kosinus (cos) atau tangen (tan) bernilai tak terhingga, nilai-nilai tersebut tidak terdefinisi dalam konteks trigonometri konvensional.

Rumus Trigonometri

Berikut adalah beberapa rumus trigonometri yang umum digunakan:

1. Rumus Sinus

Dalam segitiga siku-siku, rumus sinus menghubungkan panjang sisi yang berlawanan sudut dengan panjang hipotenusa. sin⁡(�)=Panjang sisi yang berlawanan sudut Panjang hipotenusasin(θ)=Panjang hipotenusa Panjang sisi yang berlawanan sudut​

2. Rumus Kosinus

Dalam segitiga siku-siku, rumus kosinus menghubungkan panjang sisi yang berdekatan sudut dengan panjang hipotenusa. cos⁡(�)=Panjang sisi yang berdekatan sudutPanjang hipotenusacos(θ)=Panjang hipotenusaPanjang sisi yang berdekatan sudut​

3. Rumus Tangen

Dalam segitiga siku-siku, rumus tangen menghubungkan panjang sisi yang berlawanan sudut dengan panjang sisi yang berdekatan sudut. tan⁡(�)=Panjang sisi yang berlawanan sudutPanjang sisi yang berdekatan suduttan(θ)=Panjang sisi yang berdekatan sudutPanjang sisi yang berlawanan sudut​

4. Identitas Pythagoras

Dalam segitiga siku-siku, identitas Pythagoras menyatakan hubungan antara panjang kedua sisi yang berdekatan sudut dan panjang hipotenusa. �2+�2=�2a2+b2=c2 Di mana �a dan �b adalah panjang sisi yang berdekatan sudut dan �c adalah panjang hipotenusa.

5. Identitas Trigonometri Pemangkatan

Identitas ini berguna dalam menyederhanakan ekspresi trigonometri yang melibatkan pemangkatan. sin⁡2(�)+cos⁡2(�)=1sin2(θ)+cos2(θ)=1

6. Identitas Trigonometri Sudut Ganda

Identitas ini berguna dalam mengubah sudut ganda menjadi ekspresi trigonometri yang melibatkan sudut setengah. sin⁡(2�)=2sin⁡(�)cos⁡(�)sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ) cos⁡(2�)=cos⁡2(�)−sin⁡2(�)cos(2θ)=cos2(θ)−sin2(θ) tan⁡(2�)=2tan⁡(�)1−tan⁡2(�)tan(2θ)=1−tan2(θ)2tan(θ)​

7. Identitas Trigonometri Sudut Setengah

Identitas ini berguna dalam mengubah sudut setengah menjadi ekspresi trigonometri yang melibatkan sudut asli. sin⁡(�2)=±1−cos⁡(�)2sin(2θ​)=±21−cos(θ)​​ cos⁡(�2)=±1+cos⁡(�)2cos(2θ​)=±21+cos(θ)​​ tan⁡(�2)=±1−cos⁡(�)1+cos⁡(�)tan(2θ​)=±1+cos(θ)1−cos(θ)​​

8. Identitas Trigonometri Sudut Tiga Kali Lipat

Identitas ini berguna dalam mengubah sudut tiga kali lipat menjadi ekspresi trigonometri yang melibatkan sudut asli. sin⁡(3�)=3sin⁡(�)−4sin⁡3(�)sin(3θ)=3sin(θ)−4sin3(θ) cos⁡(3�)=4cos⁡3(�)−3cos⁡(�)cos(3θ)=4cos3(θ)−3cos(θ) tan⁡(3�)=3tan⁡(�)−tan⁡3(�)1−3tan⁡2(�)tan(3θ)=1−3tan2(θ)3tan(θ)−tan3(θ)​.

Rumus-rumus trigonometri ini sangat berguna dalam mempelajari dan memahami hubungan antara sudut-sudut dalam segitiga siku-siku serta dalam menyelesaikan berbagai masalah trigonometri.

Perbandingan Trigonometri

Perbandingan trigonometri adalah hubungan matematis antara fungsi-fungsi trigonometri dari suatu sudut dalam segitiga siku-siku. Perbandingan ini melibatkan rasio panjang sisi-sisi segitiga dengan panjang hipotenusa atau sisi-sisi lainnya. Berikut adalah perbandingan trigonometri yang umum digunakan:

  1. Sinus (sin): Sinus suatu sudut dalam segitiga siku-siku adalah rasio panjang sisi yang berlawanan sudut dengan panjang hipotenusa. sin⁡(�)=Panjang sisi yang berlawanan sudutPanjang hipotenusasin(θ)=Panjang hipotenusaPanjang sisi yang berlawanan sudut​
  2. Kosinus (cos): Kosinus suatu sudut dalam segitiga siku-siku adalah rasio panjang sisi yang berdekatan sudut dengan panjang hipotenusa. cos⁡(�)=Panjang sisi yang berdekatan sudutPanjang hipotenusacos(θ)=Panjang hipotenusaPanjang sisi yang berdekatan sudut​
  3. Tangen (tan): Tangen suatu sudut dalam segitiga siku-siku adalah rasio panjang sisi yang berlawanan sudut dengan panjang sisi yang berdekatan sudut. tan⁡(�)=Panjang sisi yang berlawanan sudutPanjang sisi yang berdekatan suduttan(θ)=Panjang sisi yang berdekatan sudutPanjang sisi yang berlawanan sudut​
  4. Kosekan (csc): Kosekan suatu sudut dalam segitiga siku-siku adalah kebalikan dari sin. Dalam arti lain, kosekan adalah rasio antara panjang hipotenusa dan panjang sisi yang berlawanan sudut. csc⁡(�)=1sin⁡(�)=Panjang hipotenusaPanjang sisi yang berlawanan sudutcsc(θ)=sin(θ)1​=Panjang sisi yang berlawanan sudutPanjang hipotenusa​
  5. Sekan (sec): Sekan suatu sudut dalam segitiga siku-siku adalah kebalikan dari cos. Dalam arti lain, sekan adalah rasio antara panjang hipotenusa dan panjang sisi yang berdekatan sudut. sec⁡(�)=1cos⁡(�)=Panjang hipotenusaPanjang sisi yang berdekatan sudutsec(θ)=cos(θ)1​=Panjang sisi yang berdekatan sudutPanjang hipotenusa​
  6. Kotangen (cot): Kotangen suatu sudut dalam segitiga siku-siku adalah kebalikan dari tan. Dalam arti lain, kotangen adalah rasio antara panjang sisi yang berdekatan sudut dan panjang sisi yang berlawanan sudut. cot⁡(�)=1tan⁡(�)=Panjang sisi yang berdekatan sudutPanjang sisi yang berlawanan sudutcot(θ)=tan(θ)1​=Panjang sisi yang berlawanan sudutPanjang sisi yang berdekatan sudut​

Perbandingan trigonometri ini membantu dalam memahami hubungan antara panjang sisi-sisi segitiga siku-siku dan sudut-sudutnya. Selain itu, perbandingan trigonometri juga digunakan dalam pemecahan masalah trigonometri dan dalam memodelkan fenomena alam yang melibatkan hubungan sudut dan panjang sisi.

Contoh Soal Trigonometri dan Penyelesaiannya

Tentu! Berikut adalah contoh soal trigonometri beserta penyelesaiannya:

Contoh Soal 1

Dalam segitiga siku-siku ABC, panjang sisi AC adalah 5 cm dan panjang sisi BC adalah 12 cm. Hitunglah nilai sin(A) dan cos(A).

Penyelesaian:

Untuk mencari nilai sin(A), kita perlu menggunakan rumus sinus: sin⁡(�)=Panjang sisi yang berlawanan sudut APanjang hipotenusasin(A)=Panjang hipotenusaPanjang sisi yang berlawanan sudut A​ Dalam hal ini, panjang sisi yang berlawanan sudut A adalah 5 cm dan panjang hipotenusa adalah 13 cm (menggunakan rumus Pythagoras). Sehingga, sin⁡(�)=513sin(A)=135​

Untuk mencari nilai cos(A), kita perlu menggunakan rumus kosinus: cos⁡(�)=Panjang sisi yang berdekatan sudut APanjang hipotenusacos(A)=Panjang hipotenusaPanjang sisi yang berdekatan sudut A​ Dalam hal ini, panjang sisi yang berdekatan sudut A adalah 12 cm dan panjang hipotenusa adalah 13 cm. Sehingga, cos⁡(�)=1213cos(A)=1312​

Jadi, nilai sin(A) adalah 513135​ dan nilai cos(A) adalah 12131312​.

Contoh Soal 2

Dalam segitiga siku-siku ABC, sudut A adalah 30° dan panjang sisi AB adalah 6 cm. Hitunglah panjang sisi AC dan panjang sisi BC.

Penyelesaian:

Dalam segitiga siku-siku, kita dapat menggunakan rumus trigonometri untuk mencari panjang sisi-sisi. Dalam hal ini, kita memiliki sudut A yang diberikan dan panjang sisi AB yang diketahui.

Untuk mencari panjang sisi AC, kita dapat menggunakan rumus tangen:

tan⁡(�)=Panjang sisi yang berlawanan sudut APanjang sisi yang berdekatan sudut Atan(A)=Panjang sisi yang berdekatan sudut APanjang sisi yang berlawanan sudut A​ Dalam hal ini, kita ingin mencari panjang sisi AC. Sehingga, tan⁡(30°)=����tan(30°)=ABAC​ 13=��63​1​=6AC​ ��=63=23AC=3​6​=23​ cm

Untuk mencari panjang sisi BC, kita dapat menggunakan rumus Pythagoras: ��2=��2+��2BC2=AC2+AB2 ��2=(23)2+62BC2=(23​)2+62 ��2=12+36BC2=12+36 ��2=48BC2=48 ��=48=43BC=48​=43​ cm

Jadi, panjang sisi AC adalah 2323​ cm dan panjang sisi BC adalah 4343​ cm.

Semoga contoh soal dan penyelesaiannya di atas dapat membantu Anda memahami penerapan trigonometri dalam memecahkan masalah geometri.

Demikian artikel kali ini. Semoga artikel ini dapat membantu kamu untuk mempelajari Trigonometri lebih baik lagi. Sampai jumpa di artikel selanjutnya.

Baca juga artikel lainnya :

Related posts: